Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-ax+1（a＞0）
（1）設(shè)A是函數(shù)f（x）=x²-mlnx上的定點(diǎn)，且f（x）在A點(diǎn)的切線與y軸垂直，求m的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)f（x），h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性，求證：m≥-$\frac{1}{3}{a^3}+6a-\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)求導(dǎo)得到方程f′（1）=0，解出m的值即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）先求出f（x），h（x）的公共定域，再求出m=$\frac{{a}^{2}}{2}$，令g（a）=m+$\frac{1}{3}$a³-6a+$\frac{22}{3}$，求出g（a）的導(dǎo)數(shù)，得到g（a）的單調(diào)性，從而有g(shù)（a）≥g（2）=0，問(wèn)題得證．

解答 解：（1）由題意得：A（1，1），
又f′（x）=2x-$\frac{m}{x}$，∴f′（x）=2-m，
∵f（x）在A點(diǎn)的切線與y軸垂直，
∴f′（1）=0，∴2-m=0，∴m=2；
（2）∵f′（x）=2x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-m}{x}$，（x＞0），
∴若m≤0則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
若m＞0，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$或x＜-$\sqrt{\frac{m}{2}}$（舍），
由f′（x）＜0可得0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
∴m＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$），
綜上可得：m≤0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（0，+∞），無(wú)減區(qū)間，
m＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）；
（3）易知f（x），h（x）的公共定域?yàn)椋?，+∞），
∵在（0，+∞）上，h（x）的遞增區(qū)間是（$\frac{a}{2}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\frac{a}{2}$），
∴若存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)f（x），h（x）在公共定域上具有相同的單調(diào)性，
再由（2）可得m=0且$\sqrt{\frac{m}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得：m=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
令g（a）=m+$\frac{1}{3}$a³-6a+$\frac{22}{3}$，
則g（a）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$a²-6a+$\frac{22}{3}$，（a＞0），
∴g′（a）=a²+a-6，（a＞0），
由g′（a）＞0，解得：a＜-3，（舍），或a＞2，
由g′（a）＜0，解得：0＜a＜2，
∴g（a）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
∴g（a）_min=f（2）=$\frac{8}{3}$+2-12+$\frac{22}{3}$=0，
∴g（a）≥g（2）=0，即m≥-$\frac{1}{3}$a³+6a-$\frac{22}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查曲線的切線方程，本題有一定的難度．