Question

11．已知x，y∈R，m+n=7，f（x）=|x-1|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥（m+n）x；
（2）設(shè)max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，求F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x的范圍進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式解出；
（2）將兩式相加，利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）不等式f（x）≥（m+n）x等價(jià)于|x-1|-|x+1|-7x≥0，
當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式可化為2-7x≥0，解得x≤$\frac{2}{7}$，又x≤-1，故x≤-1；
當(dāng)x≥1時(shí)，不等式可化為-2-7x≥0，解得x≤-$\frac{2}{7}$，舍去；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，不等式可化為-2x-7x≥0，解得x≤0，又-1＜x＜1，故-1＜x≤0．
綜上，不等式的解集為{x|x≤0}．
（2）∵F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，
∴F≥|x²-4y+m|，F(xiàn)≥|y²-2x+n|，
兩式相加得：2F≥|x²-4y+m|+|y²-2x+n|≥|x²+y²-2x-4y+7|=|（x-1）²+（y-2）²+2|≥2，
∴F≥1．當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=2時(shí)取得等號(hào)．
即F的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．