Question

15．某班有25名男生、15名女生共40人，現(xiàn)對他們更愛好文娛還是更愛好體育進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)，所繪制的二維條形圖如圖．
（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，制作2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與是否更愛好體育有關(guān)系？
（2）若要從更愛好體育的學(xué)生中各隨機(jī)選2人，求所選2人中女生人數(shù)X的期望；
（3）若要從更愛好文娛和更愛好體育的學(xué)生中各選一人分別做文體活動(dòng)協(xié)調(diào)人，求選出的兩人恰好是一男一女的概率；
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

	更愛好體育	更愛好文娛	合計(jì)
男生
女生
合計(jì)

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，作出2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進(jìn)行比較，K²≈2，667＜2.706．不能在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與更愛好體育有關(guān)系；
（2）選2人中女生人數(shù)X取值為0，1，2，分別求得P（X=0），P（X=1），P（X=2），完成分布列表格，即可求得2人中女生人數(shù)X的期望E（X）；
（3）由題意知是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是20×20，滿足條件的事件是一男一女，共有15×10+5×10，得到概率．

解答 解：（1）將二維條形轉(zhuǎn)化成2×2列聯(lián)表：

	更愛好體育	更愛好文娛	合計(jì)
男生	15	10	25
女生	5	10	15
合計(jì)	20	20	40

由K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{40×（15×10-10×5）^{2}}{25×15×20×20}$≈2，667＜2.706．
故不能在犯錯(cuò)概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與更愛好體育有關(guān)系；
（2）由所選2人中女生人數(shù)X取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{15}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{5}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
X的分布列：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{1}{19}$

所選2人中女生人數(shù)X的期望E（X）=1×$\frac{5}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由題意知，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件個(gè)數(shù)為：20×20=400，
滿足條件的事件數(shù)是15×10+5×10=200，
兩人恰好是一男一女的概率P=$\frac{200}{400}$=$\frac{1}{2}$；
兩人恰好是一男一女的概率$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查超幾何分布的計(jì)算公式、分布列和數(shù)學(xué)期望及其排列與組合的計(jì)算公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．