Question

19．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求證：對(duì)應(yīng)三邊a，b，c滿足$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用分析法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理即可證明．

解答 證明：要證$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，
只需證（b+c）（a+b+c）+（a+b）（a+b+c）=3（a+b）（b+c），
即只需證a²-b²+c²-ac=0，①
又在△ABC中，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，
有B=60°，則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
即a²-b²+c²-ac=0，即 ①式顯然成立，從而得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，分析法是由未知探需知，逐步推向已知，屬于中檔題．