Question

15．下列四個(gè)函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增的是（　�。�

• A． y=$\sqrt{x}$
• B． y=xsinx
• C． y=lg$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=e^x-e^-x

Answer 1

分析 A．y=$\sqrt{x}$（x≥0）為非奇非偶函數(shù)，即可判斷出正誤；
B．y=xsinx（x∈R）為偶函數(shù)，即可判斷出正誤；
C．由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1．又f（-x）+f（x）=0，因此函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，變形為f（x）=lg$（\frac{2}{1+x}-1）$，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即可判斷出正誤．
D．f（x）=e^x-e^-x，（x∈R），f（-x）+f（x）=0，可得f（x）為R上的奇函數(shù)，再判斷出f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，1）上單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：A．y=$\sqrt{x}$（x≥0）為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
B．y=xsinx（x∈R）為偶函數(shù)，不符合題意；
C．由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得-1＜x＜1．又f（-x）+f（x）=$lg\frac{1+x}{1-x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$=lg1=0，
因此函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，但是
f（x）=lg$（\frac{2}{1+x}-1）$，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意．
D．f（x）=e^x-e^-x，（x∈R），f（-x）+f（x）=e^-x-e^x+e^x-e^-x=0，
∴f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，1）上單調(diào)遞增，滿足條件．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．