Question

6．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，若t∈[0，1]，則|t（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）|的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{193}}}{12}$
• B． $\frac{13}{12}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，1）$，求出|t（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）|，再由其幾何意義求解．

解答 解：如圖，
設(shè)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}=（1，0）$，$\overrightarrow=\overrightarrow{OB}=（0，1）$，
∴$\overrightarrow-\overrightarrow{a}=（-1，1）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（1，-1）$，
∴t（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$=t（-1，1）+（1，0）=（1-t，t），
$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\frac{5}{12}×（0，1）+（1-t）×（1，-1）$=（0，$\frac{5}{12}$）+（1-t，t-1）=（1-t，t-$\frac{7}{12}$），
∴|t（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）+$\overrightarrow{a}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow$+（1-t）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）|
=$\sqrt{（1-t）^{2}+{t}^{2}}+\sqrt{（1-t）^{2}+（t-\frac{7}{12}）^{2}}$．
其幾何意義為動點(diǎn)P（t，t）到兩定點(diǎn)C（1，0）與D（1，$\frac{7}{12}$）距離的和，
如圖，
點(diǎn)D關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為G（$\frac{7}{12}，1$），
其最小值為|GC|=$\sqrt{（\frac{7}{12}-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\frac{13}{12}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．