Question

3．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面AA₁D₁D為矩形，AB⊥平面AA₁D₁D，CD⊥平面AA₁D₁D，E、F分別為A₁B₁、CC₁的中點(diǎn)，且AA₁=CD=2，AB=AD=1．
（1）求證：EF∥平面A₁BC；
（2）求D₁到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點(diǎn)O，連接OE，OC，證明四邊形OECF是平行四邊形，可得EF∥OC，即可證明EF∥平面A₁BC；
（2）利用等體積法求D₁到平面A₁BC₁的距離．

解答 （1）證明：取A₁B的中點(diǎn)O，連接OE，OC，則OE平行且等于$\frac{1}{2}$BB₁，
∵F為CC₁的中點(diǎn)，∴CF平行且等于$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OE平行且等于CF，
∴四邊形OECF是平行四邊形，
∴EF∥OC，
∵EF?平面A₁BC，OC?平面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC；
（2）解：△A₁BC₁中，A₁B=A₁C₁=$\sqrt{5}$，BC₁=$\sqrt{6}$，∴面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{5-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
設(shè)D₁到平面A₁BC₁的距離為h，則$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{21}}{2}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$
∴h=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
即D₁到平面A₁BC₁的距離為$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判斷，考查點(diǎn)到平面的距離，正確求體積是關(guān)鍵．