Question

18．已知銳角α，β滿足$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2，設(shè)f（x）=log_ax（0＜a＜1），則下列判斷正確的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 由題意可得銳角α，β滿足$α+β＜\frac{π}{2}$，由此求得sinα＜cosβ，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答 解：∵銳角α，β滿足α+β$＞\frac{π}{2}$，則$α＞\frac{π}{2}-β$，sinα＞sin（$\frac{π}{2}-β$）=cosβ，∴$\frac{sinα}{cosβ}＞1$，
同理$\frac{sinβ}{cosα}$＞1，則$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＞2，與已知矛盾；
∴$α+β＜\frac{π}{2}$．
即$α＜\frac{π}{2}-β$，∴$sinα＜sin（\frac{π}{2}-β）=cosβ$，
∵f（x）=log_ax（0＜a＜1）為減函數(shù)，
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，考查三角函數(shù)值的大小比較，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，是中檔題．