Question

1．直線y=kx+1與圓x²+y²=1交于A，B兩點(diǎn)，若直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）和線段AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析 直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），表示出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線l的方程，令x=0求得b關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)k的范圍求得b的范圍．

解答 解：由直線y=kx+1與圓x²+y²=1得（1+k²）x²+2kx=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴AB中點(diǎn)為（-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+{k}^{2}}$），
∴l(xiāng)方程為y=$\frac{x+2}{2{k}^{2}-k+2}$，令x=0，直線l在y軸上的截距b=$\frac{2}{2{k}^{2}-k+2}$=$\frac{2}{2（k-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}$
∴0＜b≤$\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．用k表示b的過程即是建立目標(biāo)函數(shù)的過程，屬于中檔題．