Question

6．已知函數(shù)f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ） 是否存在非正實數(shù)k使得函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，當k=0時，當k≠0時，結(jié)合函數(shù)的對稱軸，即可討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)遞增情況．
（Ⅱ）分類討論，當k=0時，當k＜0時，分類討論，結(jié)合函數(shù)的對稱軸，即可討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的單調(diào)性，即可明確取最大值的狀態(tài)，再計算．

解答 解：（Ⅰ）f（x）在區(qū)間[-2，2]上是增函數(shù)，f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，
當k=0時，f（x）=3x+3，故f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，滿足題意，
當k≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{-\frac{3+k}{2k}≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-\frac{3+k}{2k}≥2}\end{array}\right.$，
解得0＜k≤1，或-$\frac{3}{5}$≤k＜0，
綜上所述k的取值范圍為[-$\frac{3}{5}$，1]．
（Ⅱ）當k=0時，f（x）=3x+3，此時f（x）在[-1，4]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（4）=12+3=15≠4，
當k＜0時，f（x）圖象是開口向下，對稱軸方程為x=-$\frac{3+k}{2k}$的拋物線，
當-$\frac{3+k}{2k}$≤-1時，即k≥3，與k＜0矛盾，
當-$\frac{3+k}{2k}$≥4時，即-$\frac{1}{3}$≤k＜0時，函數(shù)f（x）在[-1，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（4）=16k+4（3+k）+3=4，
解得k=-$\frac{11}{20}$＜-$\frac{1}{3}$，k不存在，
當-1＜-$\frac{3+k}{2k}$＜4時，即k＜-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）在[-1，-$\frac{3+k}{2k}$]上單調(diào)遞增，在[-$\frac{3+k}{2k}$，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（-$\frac{3+k}{2k}$）=（-$\frac{3+k}{2k}$）²k+（-$\frac{3+k}{2k}$）（3+k）+3=4，
即k²+10k+9=0，
解餓k=-1或k=-9，
綜上所述k的值為-1或-9．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求法，基本思路是：二次項系數(shù)位置有參數(shù)時，先分類討論，再確定對稱軸和開口方向，明確單調(diào)性，再研究函數(shù)最值．