Question

12．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{2}cos\frac{x}{4}，2cos\frac{x}{4}）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{2}cos\frac{x}{4}，\sqrt{3}sin\frac{x}{4}）$，設(shè)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）若f（α）=2，求$cos（α+\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-b）cosC=ccosB，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．利用向量的數(shù)量積的運(yùn)用求解f（x）的解析式，f（α）=2，找出與$cos（α+\frac{π}{3}）$的關(guān)系即可得解．
（Ⅱ）利用正弦定理化簡(jiǎn)，求解C角的大�。�結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow m=（\sqrt{2}cos\frac{x}{4}，2cos\frac{x}{4}）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{2}cos\frac{x}{4}，\sqrt{3}sin\frac{x}{4}）$，
∵$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$
那么：$f（x）=2{cos^2}\frac{x}{4}+2\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}+1$=$2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+1$．
∵f（α）=2，即$sin（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∴$cos（α+\frac{π}{3}）=1-2{sin^2}（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵（2a-b）cosC=ccosB，
∴（2sinA-sinB）cosC=sinCcosB，
⇒2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∴2sinAcosC=sinA，
∵sinA≠0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，∴$C=\frac{π}{3}$．
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）＜1$，
∵$f（A）=2sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）+1$，
∴f（A）的取值范圍為（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．