Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x，x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
（1）求f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）-a又兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）函數(shù)y=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=a的圖象有兩交點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合法可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x，x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
化簡可得：$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x=1-cos（2x+\frac{π}{2}）-\sqrt{3}cos2x$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x+1$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$
又∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$
∴得$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[\frac{1}{2}，1]$，
∴$2sin（2x-\frac{π}{3}）∈[1，2]$
故得f（x）的值域f（x）∈[2，3]為所求．
（2）要函數(shù)y=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，
即方程$2sin（2x-\frac{π}{3}）+1-a=0$有兩個(gè)根，
即函數(shù)$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$與y=a-1的圖象又兩個(gè)交點(diǎn)．
由（1）可知$\sqrt{3}≤a-1＜2$，
得$\sqrt{3}+1≤a＜3$為所求．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．