Question

16．已知函數f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（Ⅰ）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）判斷函數f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ 可得函數f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）根據F（-x）=F（x），可得：函數F （x）是偶函數
（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數，作差可證明結論．

解答 （Ⅰ）解：要函數有意義，則$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ （2分）
∴-1＜x＜1，
即函數的定義域為（-1，1）（4分）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1-x）=lg（1-x²）．
由（1）得函數定義域關于原點對稱
又F（-x）=F（x），
∴函數F （x）是偶函數．（6分）
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數，
理由如下：
設x₁、x₂∈（0，1），x₁＜x₂，
則$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}＞0$，即$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，
∴F （x₁）-F（x₂）=lg（1-x₁²）-lg（1-x₂²）=lg$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞0．
即F （x₁）＞F（x₂）
∴F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數．（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的定義域，函數的奇偶性，函數的單調性，難度中檔．