Question

16．已知函數(shù)f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ 可得函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)F（-x）=F（x），可得：函數(shù)F （x）是偶函數(shù)
（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，作差可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：要函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$ （2分）
∴-1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）（4分）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1-x）=lg（1-x²）．
由（1）得函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱
又F（-x）=F（x），
∴函數(shù)F （x）是偶函數(shù)．（6分）
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，
理由如下：
設(shè)x₁、x₂∈（0，1），x₁＜x₂，
則$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}＞0$，即$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，
∴F （x₁）-F（x₂）=lg（1-x₁²）-lg（1-x₂²）=lg$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞0．
即F （x₁）＞F（x₂）
∴F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．