Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）如果E是PA的中點(diǎn)，求證PC∥平面BDE；
（3）是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)棱錐的體積公式即可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明PC∥平面BDE；
（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明BD⊥CE．

解答： 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PA=

1

3

×12×2=

2

3

即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

．
（2）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE．
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)．
又∵E是PA的中點(diǎn)，∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（3）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥CE．
證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA．
又∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有CD?平面PAC．
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥CE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行以及線面垂直的判斷和性質(zhì)，以及空間幾何體的體積計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判斷定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．