分析 (1)直接由對數(shù)式的真數(shù)大于0,求解分式不等式得函數(shù)的定義域;
(2)直接根據(jù)f(-x)=-f(x)得到函數(shù)為奇函數(shù),
(3)由函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性,然后結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性得函數(shù)在(-1,0)上的單調(diào)性
解答 解:(1)由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{\frac{1+x}{1-x}>0}\end{array}\right.$,解的-1<x<0,或0<x<1,
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,0)∪(0,1),
(2)f(-x)=$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{1}{x}$-ln$\frac{1+x}{1-x}$=-f(x),
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
(3)設(shè)x1,x2∈(0,1)且x1<x2,
設(shè)g(x)=ln$\frac{1+x}{1-x}$,
∴g(x1)-g(x2)=ln$\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=ln$\frac{(1+{x}_{1})(1-{x}_{2})}{(1+{x}_{2})(1-{x}_{1})}$,
∵0<$\frac{(1+{x}_{1})(1-{x}_{2})}{(1+{x}_{2})(1-{x}_{1})}$<1,
∴g(x1)-g(x2)<0,
∴g(x)在(0,1)上增函數(shù),
∵y=-$\frac{1}{x}$在(0,1)上增函數(shù),
∴f(x)在(0,1)上增函數(shù),
由(2)可知,f(x)為奇函數(shù),
∴f(x)在(-1,0)為增函數(shù).
點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求法,訓(xùn)練了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,考查了奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性,是中檔題.
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 15 | B. | 45 | C. | 135 | D. | 405 |
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A. | 2:3 | B. | 4:3 | C. | 3:1 | D. | 3:2 |
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A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$π | C. | π | D. | 2π |
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