Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（n∈N⁺），記b_n=a${\;}_{n}^{2}$，則數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 將$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$兩邊平方移項(xiàng)得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，故而數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}為等差數(shù)列，從而求出a_n²，得出b_nb_n+1，使用列項(xiàng)法求出S_n．

解答 解：∵$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，且$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2n-1，∴a_n²=$\frac{1}{2n-1}$，∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判斷與通項(xiàng)公式，列項(xiàng)法求和，屬于中檔題．