Question

14．已知函數(shù)f（x）=（ax²+2x）e^x在[0，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令g（x）=ax²+2（a+1）x+2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）≥0在[0，2]恒成立即可，分a=0和a≠0兩種情況討論，

解答 解：由f（x）=（ax²+2x）e^x，得
f′（x）=（2ax+2）e^x+（ax²+2x）e^x=[ax²+2（a+1）x+2]e^x，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2（x+1）e^x，f′（x）＞0在[0，2]上恒成立，
故a=0符合要求；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，令g（x）=ax²+2（a+1）x+2，
因?yàn)椤?4（a+1）²-4a=4a²+4a+1=（2a+1）²≥0，
①a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，△=0，g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
f′（x）＞0在[0，2]恒成立，
∴a=-$\frac{1}{2}$符合要求；
②a≠-$\frac{1}{2}$時(shí)，△＞0，
∴g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，g（x）的對(duì)稱軸x=-$\frac{a+1}{a}$＜0，g（0）=2＞0，
∴g（x）＞0在[0，2]恒成立，
若-$\frac{1}{2}$＜a＜0，對(duì)稱軸x=-$\frac{a+1}{a}$＞1，
g（0）=2，g（2）=8a+6＞2＞0，
∴g（x）＞0在[0，2]恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜0符合要求；
a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，令g（2）=8a+6≥0，解得：a≥-$\frac{3}{4}$，
故-$\frac{3}{4}$≤a＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）≥0在[0，2]恒成立，
a＜-$\frac{3}{4}$時(shí)，g（2）＜0，g（0）=2＞0，
故f（x）在[-1，1]上不單調(diào)，
綜上，a≥-$\frac{3}{4}$時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了方程的根與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，屬中檔題．