Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}{x}^{2}+bx+c$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）偶函數(shù)g（x）=f（x）+2x，且g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，由題意得方程組解出b，c的值即可；
（2）分別討論當(dāng)a＞0時，求出導(dǎo)數(shù)大于0的解，導(dǎo)數(shù)小于0的解，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求出g（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，由題意可得g′（x）≤0在（-2，-1）成立，運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-ax+b，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1），得f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
當(dāng)a＞0時，當(dāng)x∈（-∞，0）∪（a，+∞）時，f'（x）＞0
當(dāng)x∈（0，a）時，f'（x）＜0；
故當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）與（a，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（0，a）；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+2x=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+2x+1，
g′（x）=x²-ax+2，
g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，
即為g′（x）≤0在（-2，-1）成立，
即為x²-ax+2≤0成立，
即有a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）成立，
由x+$\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\sqrt{2}$取得最大值．
即有a≤-2$\sqrt{2}$．
當(dāng)a=-2$\sqrt{2}$時，g′（x）=x²+2$\sqrt{2}$x+2=（x+$\sqrt{2}$）²≥0，
g（x）遞增，不成立．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，曲線的切線問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．