Question

16．過點P（1，2）的直線交x，y軸的正半軸于A，B兩點，當|AB|最小時，直線l的方程為y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)∠OAB=α，α∈$（0，\frac{π}{2}）$．可得|PA|=$\frac{2}{sinα}$，|PB|=$\frac{1}{cosα}$．|AB|=|PA|+|PB|=$\frac{2}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=f（α），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)∠OAB=α，α∈$（0，\frac{π}{2}）$．
則|PA|=$\frac{2}{sinα}$，|PB|=$\frac{1}{cosα}$．
∴|AB|=|PA|+|PB|=$\frac{2}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=f（α），
f′（α）=$-\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$+$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（sinα-\root{3}{2}cosα）（si{n}^{2}α+\root{3}{4}cosα+\root{3}{2}sinαcosα）}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$，
當tanα＞$\root{3}{2}$時，f′（α）＞0，此時函數(shù)f（α）單調(diào)遞增；當0＜tanα＜$\root{3}{2}$時，f′（α）＜0，此時函數(shù)f（α）單調(diào)遞減．
∴當tanα=$\root{3}{2}$時，函數(shù)f（α）取得最小值，
此時直線l的方程為：y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．
故答案為：y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值、直線的方程、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．