Question

2．已知拋物線y²=4x上一點(diǎn)P在y軸上的射影為N，動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+2上，則PM+PN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．

Answer 1

分析 通過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線x=-1，過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線交y軸、準(zhǔn)線分別為N、Q點(diǎn)，通過(guò)拋物線定義可知PM+PN的最小值即為PF+PM-1的最小值即為拋物線焦點(diǎn)到直線y=x+2的距離減1，利用點(diǎn)到直線的距離計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，作拋物線的準(zhǔn)線x=-1，過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線交y軸、準(zhǔn)線分別為N、Q點(diǎn)，
記拋物線焦點(diǎn)F（1，0），連結(jié)PF、PM，
則點(diǎn)F到直線y=x+2的距離d=$\frac{|1-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由拋物線定義可知PF=PN+QN=PN+1，
于是PM+PN的最小值即為PF+PM-1的最小值，
通過(guò)圖象可知PF+PM的最小值為d，
∴PM+PN的最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．