Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（4-\frac{a}{2}）x+4，x≤6\\{a}^{x-5}，x＞6\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若f（x）是增函數(shù)，則a的取值范圍是[7，8）．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）≤在R上是單調遞增函數(shù)，根據指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調性與參數(shù)的關系，我們可得一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0，且指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，且在x=6時，第一個解析式對應的函數(shù)值不小于第二段函數(shù)解析式對應的函數(shù)值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（4-\frac{a}{2}）x+4，x≤6\\{a}^{x-5}，x＞6\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），f（x）是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-\frac{a}{2}＞0}\\{a＞1}\\{{a}^{6-5}≥（4-\frac{a}{2}{）×6+4}^{\;}}\end{array}\right.$，
解得7≤a＜8
故答案為：[7，8）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調性的性質，其中根據指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調性，及分段函數(shù)單調性的性質，構造關于a的不等式組是解答本題的關鍵．但在解答過程中，易忽略在x=6時，第一個解析式對應的函數(shù)值不小于第二段函數(shù)解析式對應的函數(shù)值，而錯解為（1，8）