Question

17．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，△ABC是正三角形，直線AA₁⊥平面A₁B₁C₁，D是棱A₁C₁的中點．
（1）求證：B₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求證：BC₁∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 （1）欲證明B₁D⊥平面AA₁C₁C，只需推知B₁D⊥A₁C₁，B₁D⊥C₁C₁即可；
（2）連接A₁B交AB₁于點O，連接OD，欲證明BC₁∥平面AB₁D，只需推知BC₁∥OD即可．

解答 證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，
∴△A₁B₁C₁是正三角形，
又∵D是棱A₁C₁的中點，
∴B₁D⊥A₁C₁．
∵AA₁∥CC₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁D，
∵CC₁∩AC₁=C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C．
（2）連接A₁B交AB₁于點O，連接OD，則O為BA₁的中點．
∵D是棱A₁C₁的中點，
∴OD為△A₁BC₁的中位線．
∴OD∥BC₁．
又OD?平面AB₁D，BC₁?面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．

點評 本題考查的知識是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面垂直及平行的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征，及直三棱柱的幾何特征，是解答本題的關(guān)鍵．