【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形, 垂直于底面, ,點為線段(不含端點)上一點.
(1)當(dāng)是線段的中點時,求與平面所成角的正弦值;
(2)已知二面角的正弦值為,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),列方程組解出平面,再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求與平面所成角的正弦值;(2)列方程組解出平面,再根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系列等量關(guān)系,解方程可得的值.;
試題解析:(1)以為原點, , , 為坐標(biāo)軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系;設(shè),則, , , , , ;
所以, , ,
設(shè)平面的法向量,則,
即,解得,所以平面的一個法向量,
,
則與平面所成角的正弦值為.
(2)由(1)知平面的一個法向量為,設(shè),則, , ,設(shè)平面的法向量,則,即,解得,所以平面的一個法向量,
由題意得 ,
所以,即,
因為,所以,則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司推廣線下分店,計劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店,為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),y表示這個x個分店的年收入之和.
(1)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程
(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x,y之間的關(guān)系為,請結(jié)合(1)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個分店時,才能使A區(qū)平均每個分店的年利潤最大?
(參考公式:,其中,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某學(xué)校高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,從中抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本,按成績分成組:,,,,,頻率分布直方圖如圖所示.成績落在中的人數(shù)為.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)根據(jù)樣本估計總體的思想,估計該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)成績在分以上(含分)為優(yōu)秀,樣本中成績落在中的男、女生人數(shù)比為,成績落在中的男、女生人數(shù)比為,完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān).
參考公式和數(shù)據(jù):.
男生 | 女生 | 合計 | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD,E,P,Q分別是棱AD,SC,AB的中點.
(Ⅰ)求證:PQ∥平面SAD;
(Ⅱ)求證:AC⊥平面SEQ;
(Ⅲ)如果SA=AB=2,求三棱錐S-ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,在三棱錐P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分別是AB,PB的中點.
(Ⅰ)求證:DE∥平面PAC.
(Ⅱ)求證:AB⊥PB;
(Ⅲ)若PC=BC,求二面角P—AB—C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,,且恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若,且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).
①求實數(shù)的值;
②當(dāng)時,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,且對所有的實數(shù),等式都成立,其、、、、、、、,、.
(1)如果函數(shù),,求實數(shù)的值;
(2)設(shè)函數(shù),直接寫出滿足的兩個函數(shù);
(3)如果方程無實數(shù)解,求證:方程無實解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左右焦點分別為, ,左頂點為,上頂點為, 的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓相交于不同的兩點, , 是線段的中點.若經(jīng)過點的直線與直線垂直于點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根,求證:;
(2)若存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù),)
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