Question

17．已知f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，結(jié)合輔助角公式化積，由周期公式求得周期，再由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間；
（2）把已知等式利用正弦定理化邊為角，求出角B，得到f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1，再結(jié)合A的范圍求得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
故單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z；
（2）由（a+2c）cosB=-bcosA，結(jié)合正弦定理得：（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB，
∴cosB=$-\frac{1}{2}$．
∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=$\frac{2π}{3}$．
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1，
又∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2A+\frac{π}{6}）≤1$．
故f（A）∈（2，3]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓練了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)的求法，考查了正弦定理的應(yīng)用，是中檔題．