Question

2．設(shè)0＜a＜1，已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}cosπx，0＜x≤a\\ 8{x^3}，a＜x≤1\end{array}$，若存在實(shí)數(shù)b使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{4}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• C． （0，1）
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有兩個零點(diǎn)可得f（x）=b有兩個零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點(diǎn)，則利用a=$\frac{1}{2}$時，8a³=1，可求a的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有兩個零點(diǎn)
∴f（x）=b有兩個零點(diǎn)，即y=f（x）與y=b的圖象有兩個交點(diǎn)，
由于y=cosπx在（0，a]遞減，y=8x³在（a，1]遞增，
a=$\frac{1}{2}$時，8a³=1．
∵存在實(shí)數(shù)b使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點(diǎn)，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．