Question

7．設(shè)x，y＞0，記A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），求A的最大值．

Answer 1

分析 由題意可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，運用不等式的可乘性和重要不等式a²+b²≥2ab，（a=b取得等號），即可得到A的最大值．

解答 解：A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由x，y＞0，可得A²≤$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
又x²+y²≥2xy，當且僅當x=y取得等號．
即有$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
則A²≤$\frac{1}{2}$，即A≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則A的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查最值的求法，注意運用基本不等式和不等式的傳遞性，考查運算能力，屬于中檔題．