Question

7．設(shè)x，y＞0，記A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），求A的最大值．

Answer 1

分析 由題意可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，運(yùn)用不等式的可乘性和重要不等式a²+b²≥2ab，（a=b取得等號(hào)），即可得到A的最大值．

解答 解：A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由x，y＞0，可得A²≤$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
又x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào)．
即有$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
則A²≤$\frac{1}{2}$，即A≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則A的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式和不等式的傳遞性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．