【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ +x（a＞0）．若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x﹣2y=0垂直， （Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

【答案】解：（Ⅰ）∵f′x）= ﹣ +1， ∴f′（1）=﹣2，
∴2a2﹣a﹣3=0，
∵a＞0，
∴a= ．
（Ⅱ）∵f′（x）= ，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，x＜﹣3（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增
【解析】（1）先求出f′x）= ﹣ +1，得f′（1）=﹣2，從而求出a的值，（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式從而求出單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin2 + sin cos ． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[ ，π]，求f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，則（ ）
A.f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
B.f（x）在 上是增函數(shù)
C.當x∈（0，1）時，f（x）有最小值
D.f（x）在定義域內(nèi)無極值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中 ①若loga3＞logb3，則a＞b；
②函數(shù)f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域為[2，+∞）；
③設(shè)g（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)．若g（a）=g（b）＞0，則函數(shù)g（x）無零點；
④函數(shù) 既是奇函數(shù)又是減函數(shù)．
其中正確的命題有 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) （其中a為非零實數(shù)），且方程 有且僅有一個實數(shù)根． （Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的兩個零點分別為1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．
（3）令 ，若函數(shù)F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零點，求實數(shù)r的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=﹣ x2+bln（x+2）在區(qū)間[﹣1，2]不單調(diào)，則b的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1]
B.[8，+∞）
C.（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）
D.（﹣1，8）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=1﹣ 為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．點M是棱PC的中點
（1）記平面ADM與平面PBC的交線是l，試判斷直線l與BC的位置關(guān)系，并加以證明．
（2）若 ，求證PB⊥平面ADM，并求直線PC與平面ADM所成角的正弦值．

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