精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數 (其中a為非零實數),且方程 有且僅有一個實數根. (Ⅰ)求實數a的值;
(Ⅱ)證明:函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減.

【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 ,

又a≠0,即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且僅有一個實數根(且該實數根非零),

所以△=(﹣4)2﹣4a(4﹣a)=0,

解得a=2(此時實數根非零).

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:函數解析式 ,

任取0<x1<x2,

則f(x1)﹣f(x2

=

= ,

∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,2+x1x2>0,x1x2>0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減.


【解析】(Ⅰ)根據二次函數的性質得到△=0,求出a的值即可;(Ⅱ)根據函數單調性的定義證明函數的單調性即可.
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點,需要掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】(題類A)以橢圓 +y2=1(a>1)短軸端點A(0,1)為直角頂點,作橢圓內接等腰直角三角形,試判斷并推證能作出多少個符合條件的三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點,點P(1,2),A(x1 , y1),B(x2 , y2)均在拋物線上.

(1)求該拋物線方程;
(2)若AB的中點坐標為(1,﹣1),求直線AB方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知a為實數,函數f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.
(1)求函數f(x)的極值;
(2)求證:當a>ln2﹣1且x>0時,ex>2x﹣2a.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知過點P(m,n)的直線l與直線l0:x+2y+4=0垂直. (Ⅰ) 若 ,且點P在函數 的圖象上,求直線l的一般式方程;
(Ⅱ) 若點P(m,n)在直線l0上,判斷直線mx+(n﹣1)y+n+5=0是否經過定點?若是,求出該定點的坐標;否則,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=alnx+ +x(a>0).若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x﹣2y=0垂直, (Ⅰ)求實數a的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖,則輸出的S=(
A.14
B.30
C.20
D.55

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經過點(1, ),且離心率等于 . (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點P(2,0)作直線PA,PB交橢圓于A,B兩點,且滿足PA⊥PB,試判斷直線AB是否過定點,若過定點求出點坐標,若不過定點請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的三個頂點是A(4,0),B(6,7),C(0,3).
(1)求過點A與BC平行的直線方程.
(2)求過點B,并且在兩個坐標軸上截距相等的直線方程.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案