Question

4．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)．求函數(shù)f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的倍角公式降冪，再利用輔助角公式化積，則函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程可求；
（Ⅱ）由x得范圍求得相位的范圍，則函數(shù)的最大值可求，進(jìn)一步求得f（x）取得最大值時(shí)x的集合．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+1
=$\sqrt{3}sin2x+（1+cos2x）+1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}+2）$．
由$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程是$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，則sin（2x+$\frac{π}{6}$）$∈[\frac{1}{2}，1]$，
∴3≤f（x）≤4．
∴f（x）_max=4，此時(shí)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)自變量x的集合為{$\frac{π}{6}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)最值的求法，是基礎(chǔ)題．