Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35-75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年3月每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉），
（Ⅰ）求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；
（Ⅱ）記ξ表示兩天中空氣質(zhì)量為二級的天數(shù)．求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用莖葉圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．
（Ⅱ）由莖葉圖可知，6天中有3天空氣質(zhì)量為二級，ξ的取值有0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）平均數(shù)為：

32+47+42+78+71+96

6

=

366

6

=61…（3分）
方差為：
S2=

1

6

[(32-61)2+(47-61)2+(42-61)2+(78-61)2+(71-61)2+(96-61)2]=

1

6

×2612≈435.3
…（6分）
（Ⅱ）由莖葉圖可知，6天中有3天空氣質(zhì)量為二級，ξ的取值有0，1，2，
P（ξ=0）=

C 0 3 C 2 3

C 2 6

=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

3

5

，
P（ξ=2）=

C 2 3 C 0 3

C 2 6

=

1

5

，
故ξ分布列如下表：

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

∴期望值Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1（天）

點評：本題考查平均數(shù)和方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．解題時要注意莖葉圖的合理運用．