Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

2

2

，且點M（-1，

2

2

）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l過橢圓的右焦點F₂，且與橢圓交于A，B兩點，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)l的方程為my=x-1，將其代入橢圓方程，得（m²+2）y²+2my-1=0，由此利用韋達定理、橢圓弦長公式，結(jié)合已知條件能求出|AB|的最小值．

解答： 解：（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
離心率e=

2

2

，且點M（-1，

2

2

）在橢圓上，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）由（1）知橢圓右焦點為F₂（1，0），設(shè)l的方程為my=x-1，
將其代入橢圓方程，得（m²+2）y²+2my-1=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理得y₁+y₂=-

2m

m2+2

，y₁y₂=-

1

m2+2

，…（8分）
∴|AB|²=（1+m²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=8（

1+m2

m2+2

）²，…（10分）．
令t=

1+m2

m2+2

=1-

1

m2+2

，易知當(dāng)m=0時，t_min=

1

2

∴|AB|²_min=2，即|AB|的最小值是

2

．…（12分）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．