Question

若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x都滿足f[f（x）]=x，則稱f（x）為“不動點函數(shù)”；若存在x₀使得f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的“不動點”
（Ⅰ）已知一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）是“不動點函數(shù)”，求實數(shù)k，b的值；
（Ⅱ）求證：二次函數(shù)y=ax²+c不可能是“不動點函數(shù)”
（Ⅲ）寫出正弦函數(shù)y=sinx的所有不動點（不必寫過程）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）是“不動點函數(shù)”，可得k（kx+b）+b=x，即可求實數(shù)k，b的值；
（Ⅱ）利用反證法證明二次函數(shù)y=ax²+c不可能是“不動點函數(shù)”
（Ⅲ）由sin（sinx）=x可得x=0是其唯一不動點．

解答： （Ⅰ）解：∵一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）是“不動點函數(shù)”，
∴k（kx+b）+b=x，
∴（k²-1）x+（k+1）b=0，
∴k²-1=0，（k+1）b=0，
∵k＞0，
∴k=1，b=0；
（Ⅱ）證明：假設(shè)y=ax²+c是“不動點函數(shù)”，則a（ax²+c）²+c=x
∴a³x⁴+2a²cx²-x+ac²+c=0
∴a=c=0，矛盾
∴二次函數(shù)y=ax²+c不可能是“不動點函數(shù)”
（Ⅲ）解：由sin（sinx）=x可得x=0是其唯一不動點．

點評：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解與運用新定義是關(guān)鍵．