Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{b_n}滿足a_n=4log₂b_n+3，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過將a_n=4n-1代入a_n=4log₂b_n+3可知b_n=2^n-1，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和再加上S_n即為所求．

解答 解：（1）∵S_n=2n²+n，
∴S_n+1=2（n+1）²+n+1，
兩式相減得：a_n+1=2（n+1）²+n+1-[2n²+n]=4（n+1）-1，
又a₁=S₁=2+1=3滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=4n-1；
（2）∵a_n=4n-1，
∴4n-1=4log₂b_n+3，
∴l(xiāng)og₂b_n=n-1，
∴b_n=2^n-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
又∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+n，
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1+2n²+n=2ⁿ+2n²+n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．