Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²，x≥0時(shí)，f（x）=x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，計(jì)算即可得出答案．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²遞增
，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²遞增，
函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（$\sqrt{2}$-1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（$\sqrt{2}$-1）（t+2），
解得：t≥$\sqrt{2}$，
故答案為：$[\sqrt{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題及函數(shù)的單調(diào)性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用．