Question

7．已知f（x）是二次函數(shù)，其函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0，2），y=f（x+1）當(dāng)x=0時(shí)取得最小值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[k，k+1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x+1）在x=0時(shí)取得最小值1可設(shè)f（x+1）=ax²+1，從而得到f（x）=a（x-1）²+1，根據(jù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2）可求出a=1，從而得出f（x）解析式；
（2）f（x）的對(duì)稱軸為x=1，討論區(qū)間[k，k+1]的端點(diǎn)和對(duì)稱軸的關(guān)系：k+1＜1，k≤1≤k+1，k＞1，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)情況便可求出每種情況的f（x）在[k，k+1]上的最小值．

解答 解：（1）由條件可得f（x+1）=ax²+1；
∴f（x）=a（x-1）²+1；
由f（0）=a+1=2得a=1；
∴f（x）=（x-1）²+1；
（2）①當(dāng)k+1＜1，即k＜0時(shí)，最小值g（k）=f（k+1）=k²+1；
②當(dāng)k＞1時(shí)，最小值g（k）=f（k）=（k-1）²+1；
③當(dāng)0≤k≤1時(shí)，最小值g（k）=f（1）=1；
綜上g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}+1}&{k＜0}\\{1}&{0≤k≤1}\\{（k-1）^{2}+1}&{k＞1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)情況求二次函數(shù)最小值的方法．