Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(

x

2

+

π

6

)cos

x

2

+

1

2

，x∈R，若f（A）=

3

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當(dāng)a=14，b=10時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用兩角和的正弦公式和二倍角的正弦、余弦公式，即可化簡(jiǎn)f（x），再由f（A）=

3

2

，即可得到A；
（Ⅱ）由余弦定理得到c，再由面積公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1=sin(x+

π

6

)+1；   
由f(A)=

3

2

，得sin(A+

π

6

)=

1

2

，
又

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
則A+

π

6

=

5π

6

，故A=

2π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：14²=10²+c²-2×10c×cos120°，
即c²+10c-96=0，得c=6，
則S△ABC=

1

2

bcsinA=15

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查和差公式和二倍角公式的運(yùn)用，同時(shí)考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．