Question

16．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0）為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 利用F（$\sqrt{2}$，0）為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，建立方程組，求解即可得橢圓方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0）為其右焦點，
過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{2^{2}}{a}=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，c²=2，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題，常可利用聯(lián)立方程進而求解的方法，是中檔題．