Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）＜2f（x）恒成立，則f（1）、-$\frac{f（-4）}{16}$、$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$的大小關(guān)系是（　�。�

• A． $\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜f（1）
• B． f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$
• C． -$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜f（1）
• D． $\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可比較大�。�

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴-$\frac{f（-4）}{16}$=$\frac{f（4）}{16}$，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）＜2f（x）恒成立，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
∵g（x）為奇函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∵1＜4＜$\sqrt{231}$，
∴g（1）＜g（4）＜g（$\sqrt{231}$），
∴f（1）＜$\frac{f（4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$，
∴f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．