Question

15．求證：$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．

Answer 1

分析 由平方差公式和sin²θ+cos²θ=1，推導(dǎo)出左邊=1，再把右式中的1換為（sin²θ+cos²θ）²，推導(dǎo)出右邊=1，由此能證明$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．

解答 證明：$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{（1-co{s}^{2}θ）（1+co{s}^{2}θ）-si{n}^{2}θ}{（1-si{n}^{2}θ）（1+si{n}^{2}θ）-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{si{n}^{2}θ+si{n}^{2}θco{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ}$
=$\frac{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$=1，
$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$
=$\frac{（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）^{2}-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$
=$\frac{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$=1．
∴$\frac{1-co{s}^{4}θ-si{n}^{2}θ}{1-si{n}^{4}θ-co{s}^{2}θ}$=$\frac{1-2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ+co{s}^{4}θ}$．

點評 本題考查三角恒等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意平方差公式、sin²θ+cos²θ=1，（sin²θ+cos²θ）²=1的合理運用．