Question

3．自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵車路段．假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨(dú)立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時(shí)間如表所示：

堵車時(shí)間（小時(shí)）	頻數(shù)
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)堵車概率x在（$\frac{2}{3}$，1）上變化，y在（0，$\frac{1}{2}$）上變化．在不堵車的狀況下，走甲路線需汽油費(fèi)500元，走乙線路需汽油費(fèi)545元．而每堵車1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元．路政局為了估計(jì)CD段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到如表數(shù)據(jù)．

路段	CD	EF	GH
堵車概率	x	y	$\frac{1}{4}$
平均堵車時(shí)間（小時(shí)）	a	2	1

（Ⅰ）求CD段平均堵車時(shí)間a的值，（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）
（Ⅱ）若走甲、乙路線所花汽油費(fèi)的期望值相等，且x=$\frac{11}{12}$，求y的值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)據(jù)能畫出CD段堵車時(shí)間頻率分布直方圖，用總的堵車時(shí)間除以總?cè)藬?shù)100人，即得到平均堵車時(shí)間；
（2）利用走甲、乙路線所花汽油費(fèi)的期望值相等，可得550+4y=500（1-x）+（500+60）x，即6x-4y-5=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由CD段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，
作出CD段堵車時(shí)間頻率分布直方圖，如右圖．
a=0.5×$\frac{8}{100}$+1.5×$\frac{6}{100}$+2.5×$\frac{38}{100}$+3.5×$\frac{24}{100}$+4.5$\frac{24}{100}$=3．
（2）在EF路段多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是20×1×$\frac{1}{4}$=5元，
∵EF，GH路段堵車與否相互獨(dú)立，
∴走乙路線多花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是40y+5元，
∴走乙路線花汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望是40y+550元，
∵走甲、乙路線所花汽油費(fèi)的期望值相等，
∴550+4y=500（1-x）+（500+60）x，即6x-4y-5=0，
∵x=$\frac{11}{12}$，
∴y=$\frac{1}{8}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．