Question

5．動(dòng)點(diǎn)P在橢圓x²+a（y-1）²=a（a＞0）上移動(dòng)時(shí)，求連結(jié)原點(diǎn)O和點(diǎn)P所得線段長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 x²+a（y-1）²=a（a＞0），化為$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）設(shè)x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．可得|OP|=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，對(duì)a分類討論：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)1＜a≤2時(shí)，再利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：x²+a（y-1）²=a（a＞0），化為$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）
設(shè)x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．
∴|OP|=$\sqrt{aco{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{1-a}＞1$，∴當(dāng)sinθ=1時(shí)，|OP|取得最大值，|OP|_max=2．
當(dāng)a＞2時(shí)，$-1＜\frac{1}{1-a}＜0$，1-a＜0，當(dāng)sinθ=$\frac{1}{a-1}$時(shí)，|OP|取得最大值，|OP|_max=a+1-$\frac{1}{1-a}$=$\frac{{a}^{2}}{a-1}$．
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，$\frac{1}{1-a}$≤-1，1-a＜0，當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|OP|取得最大值，|OP|_max=$\sqrt{a}$．
綜上可得：|OP|_max=$\left\{\begin{array}{l}{2，0＜a＜1}\\{\sqrt{a}，1＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{a-1}，a＞2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．