Question

5．動點P在橢圓x²+a（y-1）²=a（a＞0）上移動時，求連結原點O和點P所得線段長的最大值．

Answer 1

分析 x²+a（y-1）²=a（a＞0），化為$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）設x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．可得|OP|=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，對a分類討論：當0＜a＜1時，當a＞2時，當1＜a≤2時，再利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：x²+a（y-1）²=a（a＞0），化為$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）
設x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．
∴|OP|=$\sqrt{aco{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，
當0＜a＜1時，$\frac{1}{1-a}＞1$，∴當sinθ=1時，|OP|取得最大值，|OP|_max=2．
當a＞2時，$-1＜\frac{1}{1-a}＜0$，1-a＜0，當sinθ=$\frac{1}{a-1}$時，|OP|取得最大值，|OP|_max=a+1-$\frac{1}{1-a}$=$\frac{{a}^{2}}{a-1}$．
當1＜a≤2時，$\frac{1}{1-a}$≤-1，1-a＜0，當sinθ=-1時，|OP|取得最大值，|OP|_max=$\sqrt{a}$．
綜上可得：|OP|_max=$\left\{\begin{array}{l}{2，0＜a＜1}\\{\sqrt{a}，1＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{a-1}，a＞2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程與參數(shù)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．