Question

13．如圖，梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EF∥AB．將四邊形ABEF沿EF折起，連接AD，AC．

（Ⅰ）若BE=3，在線段AD上一點(diǎn)取一點(diǎn)P，使AP=$\frac{1}{2}$PD，求證：CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）若平面ABEF⊥平面EFDC，且線段FA，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長(zhǎng)成等比數(shù)列，求二面角E-AC-F的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）在線段AF上取點(diǎn)Q，使AQ=$\frac{1}{2}$QF，連接PQ、QE，通過(guò)已知條件可得四邊形ECPQ為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)線段AF，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長(zhǎng)成等比數(shù)列，計(jì)算可得AF=2．以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則所求角的余弦值即為平面ACE的一個(gè)法向量與平面ACF的一個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE=3，∴AF=3，
又AD=6，BC=4，∴EC=1，F(xiàn)D=3，
在線段AF上取點(diǎn)Q，使AQ=$\frac{1}{2}$QF，連接PQ、QE，
∵AP=$\frac{1}{2}$PD，∴PQ∥DF且PQ=$\frac{1}{3}$DF，
∵CE∥DF且CE=$\frac{1}{3}$DF，∴CE∥PQ且CE=PQ，
∴四邊形ECPQ為平行四邊形，∴CP∥EQ，
∵CP?平面ABEF，EQ?平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF；
（Ⅱ）解：在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥AF，EF⊥FD，
∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，AF?平面EFDC，
∴AF⊥平面EFDC，
設(shè)AF=x（0＜x＜4），
∵EF=BA=2，∴FD=6-x，EC=4-x，
∴FC=$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$，
∵線段AF，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長(zhǎng)成等比數(shù)列，
∴FC²=AF•FD，即4+（4-x）²=x（6-x），
化簡(jiǎn)得x²-7x+10=0，∴x=2或x=5（舍），
以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則F（0，0，0），E（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），A（0，0，2），
∴$\overrightarrow{EC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EA}$=（-2，0，2），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACE的一個(gè)法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
又$\overrightarrow{FC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，2），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACF的一個(gè)法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵二面角E-AC-F為銳角，
∴二面角E-AC-F為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以翻折的圖形為載體，考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系、線面平行證明及求二面角大小等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)結(jié)合考查數(shù)列知識(shí)．本題考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．