Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*），又b_n=|a_n|（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=9，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由a_n=11-2n≥0，解得n≤5．可得b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤5}\\{-{a}_{n}，n≥6}\end{array}\right.$．當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=S_n．當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=9，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=11-2n．
（2）由a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤5}\\{-{a}_{n}，n≥6}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=S_n=10n-n²．
當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=2S₅-S_n
=2×（10×5-5²）-（10n-n²）
=n²-10n+50．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、含絕對(duì)值數(shù)列的求和，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．