Question

【題目】已知關(guān)于x的方程2x2﹣（ +1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，π）．求：
（1）m的值；
（2）+ 的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵sinθ，cosθ是方程2x2﹣（ +1）x+m=0的兩個根，

∴sinθ+cosθ= ，sinθcosθ=

則（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=1+m=

∴m= ；

（2）

解： + = =sinθ+cosθ=

（3）

解：由（1）知，sinθ+cosθ= ，sinθcosθ=

∴sinθ= ，cosθ= 或sinθ= ，cosθ= ，

∵θ∈（0，π），

∴θ= 或

【解析】（1）由sinθ，cosθ是方程2x2﹣（ +1）x+m=0的兩個根，根據(jù)韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）我們易得：sinθ+cosθ= ，sinθcosθ= ，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，根據(jù)一個關(guān)于m的方程，解方程即可得到答案；（2）切化弦，代入計算可得結(jié)論；（3）由（1）知，sinθ+cosθ= ，sinθcosθ= ，可得sinθ= ，cosθ= 或sinθ= ，cosθ= ，從而可求θ的值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用的相關(guān)知識，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；;（3） 倒數(shù)關(guān)系：．