Question

是否存在實(shí)數(shù)a，b使得關(guān)于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立？若存在，求出a，b的值并證明等式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：存在a=1，b=2使得關(guān)于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答： 解：存在a=1，b=2使得關(guān)于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立
證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，等式成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)等式成立，
即1²+2²+3²+…k²=

k(k+1)(2k+1)

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；
當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

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+（k+1）²=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

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即n=k+1時(shí)，等式成立．
因此存在a=1，b=2使得關(guān)于n的等式1²+2²+3²+…+n²=

n(an+1)(bn+1)

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，n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．