Question

已知離心率為

3

2

的橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點M（0，1），過點M引兩條互相垂直的直線l₁，l₂，若P為橢圓上任意一點，記點P到兩直線的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+d₂²的最大值是（　　）

• A、

  16

  3

• B、5
• C、

  13

  4

• D、2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可知圓的半徑等于1，橢圓的短半軸等于1，根據離心率為

3

2

，結合a²=b²+c²求出橢圓的長半軸，則橢圓方程可求．因為兩直線l₁、l₂相互垂直，所以點P到兩直線的距離d₁、d₂的平方和可轉化為P點到M點距離的平方，利用點P在橢圓上把要求的式子化為含P點縱坐標的函數，利用二次函數可求最大值．

解答： 解：橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點M（0，1），∴b=1，
∵離心率為

3

2

，∴a=2，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
設P（x₀，y₀），則
∵l₁⊥l₂，則d₁²+d₂²=PM²=x₀²+（y₀-1）²，
∵

x02

4

+y02=1，
∴d₁²+d₂²=-3（y₀+

1

3

）²+

16

3

，
∵-1≤y₀≤1，∴當y₀=-

1

3

時，d₁²+d₂²取得最大值為

16

3

．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數學轉化思想和方程思想方法，訓練了學生的計算能力，屬中檔題．