Question

14．如圖所示的幾何體中，2CC₁=3AA₁=6，CC₁⊥平面ABCD，且AA₁⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為棱A₁D中點(diǎn)，平面ABE分別與棱C₁D，C₁C交于點(diǎn)F，G．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCC₁；
（Ⅱ）求證：A₁D⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角D-EF-B的大小，并求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CC₁∥AA₁，AD∥BC，從而平面AA₁D∥平面CC₁B，由此能證明AE∥平面CC₁B．
（Ⅱ）法1：推導(dǎo)出AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，AB⊥AD，以AB，AD，AA₁分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁D⊥平面ABE．
法2：推導(dǎo)出AA₁⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥A₁D，再由AE⊥A₁D，能證明A₁D⊥平面ABE．
（Ⅲ）推導(dǎo)出平面EFD⊥平面ABE，從而二面角D-EF-B為90°，設(shè)$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$，且λ∈[0，1]，則G（2，2，3λ），再由A₁D⊥BG，能求出CG的長(zhǎng)．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)镃C₁⊥平面ABCD，且AA₁⊥平面ABCD，
所以CC₁∥AA₁，（1分）
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AD∥BC，（2分）
因?yàn)锳A₁∩AD=A，CC₁∩BC=C，
所以平面AA₁D∥平面CC₁B．（3分）
因?yàn)锳E?平面AA₁D，
所以AE∥平面CC₁B．（4分）
（Ⅱ）法1：因?yàn)锳A₁⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，（5分）
因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB⊥AD，
以AB，AD，AA₁分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2），E（0，1，1），（6分）
$\overrightarrow{D{A_1}}=（0，-2，2）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，1），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，（7分）
因?yàn)?\overrightarrow{D{A_1}}•\overrightarrow{AE}=0，\overrightarrow{D{A_1}}•\overrightarrow{AB}=0$，
所以$\overrightarrow{D{A_1}}⊥\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{D{A_1}}⊥\overrightarrow{AB}$，（8分）
所以A₁D⊥平面ABE．（9分）
法2：因?yàn)锳A₁⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥AB．（5分）
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AB⊥AD，
所以AB⊥平面AA₁D，（6分）
所以AB⊥A₁D．（7分）
因?yàn)镋為棱A₁D中點(diǎn)，且$AA_1^{\;}=AD=2$，
所以AE⊥A₁D，（8分）
所以A₁D⊥平面ABE．（9分）
（Ⅲ）因?yàn)锳₁D⊥平面ABE，且A₁D?平面EFD，（10分）
所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）
因?yàn)槠矫鍭BE即平面BEF，
所以二面角D-EF-B為90°．（12分）
設(shè)$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$，且λ∈[0，1]，則G（2，2，3λ），（13分）
因?yàn)锳₁D⊥平面ABE，BG?平面ABE，
所以A₁D⊥BG，
所以$\overrightarrow{{A_1}D}•\overrightarrow{BG}=（0，2，-2）•（0，2，3λ）=4-6λ=0$，即$λ=\frac{2}{3}$，
所以$CG=\frac{2}{3}C{C_1}=2$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的大小、線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．