Question

4．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$，當(dāng)t=-1時，對應(yīng)曲線C₁上一點(diǎn)A，且點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{6}{{\sqrt{9+3{{sin}^2}θ}}}$．
（1）求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為曲線C₂上的動點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

分析 （1）將t=-1代入得A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．
（2）求出曲線C₂上的直角坐標(biāo)方程，設(shè)P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）經(jīng)t=-1代入C₁得x=3，y=-$\sqrt{3}$，
則A（3，-$\sqrt{3}$），B（-3，$\sqrt{3}$），它們的極坐標(biāo)為A（2$\sqrt{3}$，$\frac{11π}{6}$），B（2$\sqrt{3}$，$\frac{5π}{6}$）．
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{6}{{\sqrt{9+3{{sin}^2}θ}}}$．
平方得ρ²=$\frac{36}{9+3sin^2θ}$=$\frac{12}{3+sin^2θ}$，
即3ρ²+ρ²sin²θ=12，
即3x²+3y²+y²=12，
即3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
則|PA|²+|PB|²=（2cosθ-3）²+（$\sqrt{3}$sinθ+$\sqrt{3}$）²+（2cosθ+3）²+（$\sqrt{3}$sinθ-$\sqrt{3}$）²
=2（4cos²θ+3sin²θ+12）=2（15+cos²θ），
∵cos²θ≤1，∴PA|²+|PB|²=2（15+cos²θ）≤32，
即|PA|²+|PB|²的最大值是32．

點(diǎn)評 本題主要考查極坐標(biāo)和參數(shù)坐標(biāo)的應(yīng)用，根據(jù)極坐標(biāo)和參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．