Question

2．如圖，二面角α-l-β的大小為60°，A∈β，C∈α，且AB、CD都垂直于棱l，分別交棱l于B、D．已知BD=1，AB=2，CD=3，則AC=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的大小，利用向量的數(shù)量積的應用即可求AC的長度

解答 解：由題意知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，＜$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BA}$＞=60°，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$）²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BD}$′$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$，
∵BD=1，AB=2，CD=3，
∴|$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²+|$\overrightarrow{DC}$|²+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{AB}$
=4+9+1+2×3×2cos120°，
=14-6=8，
則|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
即AC=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，結合二面角的大小運用向量法是解決本題的關鍵．