Question

已知

1

3

≤x≤

2

3

，則
（1）1-x的取值范圍是[

1

3

，

2

3

]；
（2）x（1-x）的取值范圍是[

1

9

，

4

9

]．
以上命題是否正確，若錯誤予以糾正；若正確，請予以證明．

Answer 1

分析：（1）由x的范圍求出-x的范圍，再求出1-x的范圍，注意不等式兩邊同乘負(fù)數(shù)，不等號要發(fā)生改變；
（2）利用配方法將x（1-x）進行變形，判斷出在區(qū)間[

1

3

，

2

3

]上的單調(diào)性，從而求出最值，即求出x（1-x）的取值范圍．

解答：解：（1）該命題正確．
∵

1

3

≤x≤

2

3

，∴-

2

3

≤-x≤-

1

3

．∴

1

3

≤1-x≤

2

3

，
即1-x的取值范圍是[

1

3

，

2

3

]．
（2）該命題是假命題．
∵x（1-x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

在[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞增，在[

1

2

，

2

3

]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

1

2

時，取到最大值是

1

4

；當(dāng)x=

1

3

或

2

3

時，取到最小值

2

9

，
故x（1-x）的取值范圍是[

2

9

，

1

4

]

點評：本題的考點是在給定區(qū)間上求函數(shù)的最值，對于簡單的函數(shù)利用不等式求解，注意同乘一個負(fù)數(shù)時不等號方向改變，對于二次函數(shù)用配方法變形后，判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最值和值域．